Matriks transformasi tunggal yg mewakili rotasi R [P (-3,7), 75°] dilanjutkan dengan rotasi R [P (-3,7), 30°] adalah. Thank you!

Kelas         : XII
Pelajaran   : Matematika
Kategori     : Transformasi Geometri
Kata Kunci : matriks transformasi tunggal, dua rotasi berurutan, sepusat

Kode : 12.2.5 [Kelas 12 Matematika BAB 5 - Transformasi Geometri]

Pertanyaan:
Matriks transformasi tunggal yg mewakili rotasi R[P(-3,7), 75°] dilanjutkan dengan rotasi R[P(-3,7), 30°] adalah ... ?

Penyelesaian

Rotasi sejauh α dengan pusat (a, b) memiliki matriks transformasi sebagai berikut:
[tex] \left[\begin{array}{ccc}x'\\y'\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}cos\alpha &-sin\alpha\\sin\alpha&cos\alpha\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x-a\\y-b\\\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}a\\b\\\end{array}\right] [/tex]

Pada soal ini dilakukan dua rotasi berurutan yang sepusat, yaitu pada pusat (-3, 7) dengan θ₁ = 75° dan θ₂ = 30°. Dua rotasi berurutan yang sepusat ekivalen dengan sebuah rotasi sejauh jumlah masing-masing rotasi semula terhadap pusat yang sama.

Step-1

Siapkan α = θ₁ + θ₂
α = 75° + 30°
α = 105°

Step-2

Siapkan sin 105° = sin (60 + 45)°
sin 105° = sin 60°.cos 45° + cos 60°.sin 45°
sin 105° = [tex]( \frac{1}{2} \sqrt{3})( \frac{1}{2} \sqrt{2})+( \frac{1}{2})( \frac{1}{2} \sqrt{2}) [/tex]
sin 105° = [tex] \frac{1}{4} (\sqrt{6}+ \sqrt{2}) [/tex]

Siapkan cos 105° = cos (60 + 45)°
cos 105° = cos 60°.cos 45° - sin 60°.sin 45°
cos 105° = [tex]( \frac{1}{2})( \frac{1}{2} \sqrt{2})-( \frac{1}{2}\sqrt{3})( \frac{1}{2} \sqrt{2}) [/tex]
cos 105° = [tex] \frac{1}{4} (\sqrt{2}- \sqrt{6}) [/tex]

Step-3
Membentuk matriks transformasi tunggal

[tex] \left[\begin{array}{ccc}x'\\y'\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}cos105^{o} &-sin105^{o}\\sin105^{o}&cos105^{o}\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x-(-3)\\y-7\\\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}-3\\7\\\end{array}\right] [/tex]

Hasil dari matriks transformasi tunggal dari dua rotasi berurutan yang sepusat, adalah
[tex] \left[\begin{array}{ccc}x'\\y'\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{4} (\sqrt{2}- \sqrt{6}) &- \frac{1}{4} (\sqrt{6}+ \sqrt{2})\\ \frac{1}{4} (\sqrt{6}+ \sqrt{2})& \frac{1}{4} (\sqrt{2}- \sqrt{6}) \\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x+3\\y-7\\\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}-3\\7\\\end{array}\right] [/tex]

Dapat pula ditulis seperti ini:
[tex] \left[\begin{array}{ccc}x'\\y'\\\end{array}\right] = \frac{1}{4} \left[\begin{array}{ccc} (\sqrt{2}- \sqrt{6}) &-(\sqrt{6}+ \sqrt{2})\\(\sqrt{6}+ \sqrt{2})& (\sqrt{2}- \sqrt{6}) \\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x+3\\y-7\\\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}-3\\7\\\end{array}\right] [/tex]